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人们对一维、二维甚至四维数并不陌生:一维实数总是存在于经典物理中，复数提供了量子物理的数学基础，四元数是爱因斯坦狭义相对论的基础。然而，最复杂的数字形式是八分数，它是四元数的非关联推广，通常表示为0。八元数在弦理论、狭义相对论和量子逻辑等领域有应用。它与现实世界有什么联系？

剑桥大学的数学物理学家，正在寻找粒子物理的标准模型和八元素数之间的联系。八进制数的乘法规则被编码在一个称为Fano曲面的三角图中。

一些科学家，包括剑桥大学的数学物理学家CohlFurey，他是这篇文章的主人公，认为8元的数字包含了整个宇宙的秘密——从这个数字我们可以推断出构成真实世界的一整套相互作用和粒子。这篇文章将带我们进入如此奇怪和复杂的数字。

2014年，来自加拿大滑铁卢大学的研究生柯芙蕾开车去宾夕法尼亚州立大学6个小时，希望能和物理学教授穆拉特古内丁讨论一个问题。弗利知道如何在40年前居纳丁40的研究基础上建立一个新理论。这项被大多数人遗忘的研究支持了一个关于基础物理和纯数学之间联系的猜想。现在弗利把它带回到人们的眼中。

虽然这个猜想存在于许多物理学家和数学家的头脑中，但是很少有人在这个领域做过研究。它相信组成真实世界的整个相互作用和粒子集合可以从一个叫做八元数的八维数中推导出来。

居内丁现在是宾夕法尼亚州立大学的教授。1973年，当他还是耶鲁大学的研究生时，他和他的导师费扎居尔西发现了八美元这个数字和强大的互动之间惊人的联系。强相互作用是将原子核中的夸克结合在一起的力量。其他研究人员最初对这一发现感兴趣，但这种兴趣没有持续多久。当时，每个人都被粒子物理学中的标准模型所迷惑，该模型可以通过方程描述已知的基本粒子及其强、弱和电磁相互作用(除重力外的所有基本力)。然而，没有人一直在寻找标准模型问题的数学解释。越来越多的物理学家把希望寄托在高能粒子对撞机等实验上，希望找到意想不到的粒子，这样他们就能超越标准模型，对现实有更深的理解。他们“想象下一个发展将自动发生，而不是通过更深入地思考我们已经知道的信息。”加拿大圆周理论物理研究所的莱桑博伊尔说。

几十年后，物理学家没有发现超过标准模型的粒子。与此同时，8美元这个数字的美妙之处总是吸引着一些有独立想法的研究人员，包括四年前访问居内丁的加拿大研究生弗利。弗利在黑板上潦草地写了一串奇怪的符号，试图向居内丁解释，她已经将他的工作从强相互作用扩展到电磁相互作用。

现在Furey已经39岁了，她还不能用8元来表达标准模型中的粒子和相互作用，她也没有触及重力这个话题。她强调，数学中有许多可能性，许多专家认为，要找到一种方法将八元数与其他可分代数成功地结合起来还为时过早。

最复杂的数字

为了解释什么是八进制数，我们应该从熟悉的实数开始——那些可以在数轴上找到的数，比如1，π，-83.777。实数可以以特定的方式配对，形成复数。对复数的研究始于16世纪的意大利。复数类似于二维坐标平面。加减乘除就像平面上位置的平移和旋转。复数以某种方式配对可以形成四维四元数，这是爱尔兰数学家哈密尔顿在1843年发现的。汉密尔顿的律师朋友约翰·格雷夫斯后来证明了成对组合的四元数也构成一个八元素数:这个数可以定义一个八维抽象空间的坐标。

证明八元数的约翰逊·格雷夫斯

在那之后，不可能建立更复杂的数字。1898年完成的证明表明，实数、复数、四元数和八进制数是唯一可以加减乘除的数字形式。前三个“可分代数”是20世纪物理学的数学基础。实数在经典物理学中一直存在。复数提供了量子物理的数学基础，而四元数是爱因斯坦狭义相对论的基础。这种联系促使许多研究者思考如何理解最后一个可分代数。八美元这个数字有什么秘密吗？

当你逐渐将维数翻倍，从实数到复数，再到四元数和八进制数，弗利解释道，“每次你翻倍，你就会失去一些性质。”例如，实数可以从小到大排列，“但是在复数分布的平面上没有这样的概念。”其次，四元数没有交换定律。对于四元数来说，a×b不等于b × a。这也很常见，因为在高维空间中乘以数就意味着旋转，当你在一个比二维空间更高的空间中交换旋转的顺序时，你最终会得到不同的位置。当达到8元时，组合法则也将无效，也就是说，(a×b)×c不等于a × b × c。“数学家不喜欢不符合联合法则的东西，”加州大学河滨分校的8元专家约翰·贝兹说。“很容易想象不符合交换法则的事情，比如穿鞋子之前先穿袜子，穿袜子之前先穿鞋子，但很难想象不符合联盟法则的事情。”例如，除了先穿袜子再穿鞋子，你可以先把袜子放在鞋子里，然后同时穿上袜子和鞋子。从技术上来说，两种不同的穿着方式可以得到相同的结果:穿袜子和鞋子。"括号是人为引入的."

然而，贝兹解释说，八分之一的奇怪的数学性质对许多物理学家来说也是最有吸引力的。大自然用它的四种力量来操纵数十个粒子和反粒子。这也很奇怪。他说，标准模型“奇怪而独特”。

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在标准模型中，基本粒子代表三个对称群。所谓的群是指交换粒子子集的方式，它可以保持运动方程不变。这三组，SU(3)，SU(2)和U(1)，分别对应于强，弱和电磁相互作用。它们作用于6种夸克，2种轻子加上它们的反粒子，每个轻子分别有三代。除了质量不同，每一代的粒子都有相同的特性。(第四种基本力，重力，与这三种力不相容。在爱因斯坦的广义相对论中，重力是时空几何的曲率。)

粒子集反映了标准模型中的对称性，正如正方形必须有四个顶角才能满足90度旋转对称性一样。问题是，为什么SU(3)×SU(2)×U(1)是对称群？还有，为什么是这样一组粒子，用各种力、奇妙的手和多余的三代粒子？对这些问题的传统态度是将标准模型视为更完整的理论结构的一部分。但贝兹说，另一种方法是试图通过8元的数字“从逻辑上解决这些奇怪的属性”。

当弗莉在研究生院得知四元数可以描述四维时空中粒子的平移和旋转时，她开始认真探索这种可能性。她考虑了粒子的内在属性，比如它们的电荷。“我发现8个自由度的8元素数可以对应一代粒子:一个中微子、一个电子、三个上夸克和三个下夸克。”她说这有点像以前卑鄙的数字占卜。但是这样的巧合在随后的研究中也大量出现。“如果这个研究项目是一个谋杀之谜，”她说，“我想我们仍处于收集线索的阶段。”

剑桥大学三一学院前的cohlufrey。

狄克逊代数

为了构造粒子物理学，弗利使用了四个可分代数的直积RCHO是实数，C是复数，H是四元数，O是八进制数)，有时也称为狄克逊代数，以物理学家杰弗里·狄克逊的名字命名。在20世纪70年代和80年代，他是第一个探索这一领域的人，但后来他没有得到一个教学职位，就离开了这一领域。(狄克逊从他的回忆录中截取了一段话发给我:“当时我有一种无法控制的直觉。我觉得这些代数是理解粒子物理的关键。如果我跟随这种直觉，从悬崖上掉下来，我愿意，有些人可能会说我做到了。”)

狄克逊和其他人继续将可分代数与其他数学工具相结合，而弗利限制了他的活动范围。在她的系统中，代数“只作用于自身”根据R?C?H?O组合，一个由4个数字组成的系统可以形成一个64维的抽象空间。在这个空间中，根据Furey的模型，粒子在数学上是“理想的”(集合论中的一个术语)，也就是说，这样一个子集，其中的元素乘以整个集合中的其他元素，仍然在这个子集内，这使得粒子在运动、旋转、相互作用和变换之后仍然是粒子。她认为理想是粒子的本质，可以满足R?C?H?O对称性。

狄克逊也知道这种代数结构将被分成两部分:CH和CO，即复数和四元数、复数和八进制数的直积(而实数的直积是微不足道的)。在福雷模型中，与粒子在空间和时间中的运动和旋转相关的对称性，即洛伦兹群，出现在代数结构的四元数CH部分。描述粒子内在性质和强、弱、电磁力相互作用的对称群SU(3)×SU(2)×U(1)将从八分分数co中出现

在他们早期的工作中，居内丁和居尔西发现苏(3)是八元数的一部分。一组单位，1，e1，e2，e3，e4，e5，e6和e7，考虑到一个八元数，是在八个相互正交的方向上的单位距离:它们代表一个称为G2的群对称，即一个“例外群”，它不能在数学上分类为任何现在已知的对称群。八进制数和例外群以及其他特殊数学对象之间的关系足以使我们相信它具有重大意义。例如，著名数学家、菲尔兹奖和亚伯奖的获得者迈克尔·拉蒂耶认为，关于自然的最终理论必须与八进制数有关。他在2010年表示:“我们想要找到的终极理论需要将引力纳入其他理论，以使引力被视为八元素数和特殊群的结果。”他补充道:“这将是一项非常困难的工作，因为我们已经知道8美元这个数字是一个非常困难的理论，但当你找到它时，它应该是一个美丽而独特的理论。”

固定e7和改变其他元素将减少其对SU(3)组的对称性。利用这一性质，居内丁和居尔西建立了第一代夸克强相互作用的八元数模型。

弗利走得更远。在今年5月发表在《欧洲物理学杂志》上的一篇文章中，她综合了几项研究，为单代粒子SU(3)×SU(2)×U(1)构造了一个完整的标准模型对称群。通过数学，可以得到电子、中微子、三个上夸克、三个下夸克及其反粒子的正确电荷数和其他性质。数学计算也解释了为什么电荷是量子化的，因为数字本质上就是量子化的。

然而，根据这种解释粒子的方式，研究人员不知道如何自然地将模型扩展到包括自然界所有三代粒子。然而，在一篇在专家中传阅并由物理快报B审阅的新论文中，弗利使用一氧化碳构建了两个完整的对称，标准模型中的SU(3)和U(1)。(在自然界中，SU(2)×U(1)通过希格斯机制分解成U(1)，从而使粒子获得质量。)在这种情况下，作用于所有三代粒子的对称性也允许惰性中微子存在，这是物理学家正在积极寻找的暗物质的候选者。“第三代粒子的模型只有SU(3)×U(1)，所以它更基本，”弗利告诉我。“问题是，有没有什么明显的方法可以从第一代模式转变为第三代模式？我认为有这样一种方法。”

这是她现在考虑的主要问题。其他一些数学物理学家也试图通过使用八元素结构——例外约旦代数——来构建三代粒子的模型。经过多年的独自工作，Furey现在正使用不同的方法与研究人员一起工作，但她更愿意考虑四个可分代数范围内的问题。R?C?H?O.代数足够复杂，可以在许多方面提供灵活性。弗利的目标是找到这样一个模型，它似乎被认为是理所当然的，可以解释质量、希格斯机制、重力和时空。

现在，数学中有一个空间和时间的概念。她发现R?C?H?O元素的所有乘法链都可以由10个矩阵生成，称为“生成器”。其中，9个发生器代表空间部分，第10个发生器(其符号与前9个相反)代表时间。弦理论还预测了10维时间和空间，八元素数也有类似的结论。弗利的工作是否能与合唱联系起来还有待发现。

最后一个理论

弗利拒绝回答我关于物理和数学之间关系的更具哲学性的问题。例如，它们是集成的吗？在基本级别上是相同的吗？她更感兴趣的是为什么可分代数的性质是解决问题的关键。同时，她也有一种预感，反映了研究人员对无限的普遍反感。她猜想R?C?H?O实际上是一个近似值，在最终的理论中会被取代，相反，它应该是一个不涉及无限连续实数的相关数学系统。

这些只是直觉思维。但是随着标准模型完美通过测试，大型强子对撞机上没有新粒子的迹象。物理学界有一种不安和兴奋的气氛，鼓励研究人员回到黑板和白板前。现在有一种感觉，一切都必须做。“也许我们还没有完成整合现有发现的工作，”圆周研究所的博伊尔说。他认为完成这项工作的可能性“高于许多人的预期”，他还说这“应该得到比现在更多的关注，所以我很高兴一些像科恩这样的人正在努力推进这项研究。”

博伊尔本人没有研究标准模型和八分位数之间的关系。但是像许多人一样，他承认他听到了一些关于这个领域的诱人的谣言。“我有同样的希望，”他说。“即使是怀疑者也认为八美元这个数字在基础物理中可能扮演重要角色，因为这个理论真的很美。”

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